[알고리즘] Floyd-Warshall 알고리즘(Python)

* 개요

플로이드-워셜 알고리즘은 '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 알고리즘이다. 플로이드-워셜 알고리즘은 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다. 노드의 개수가 N개일 때, 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐 가는' 모든 경로를 고려한다. 따라서 폴로이드-워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)이다. 다익스트라 알고리즘은 출발 노드가 1개이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해서 1차원 리스트를 이용했다. 반면에 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과는 다르게 2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장한다는 특징이 있다. 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문이다. 또한 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘인데 플로이드-워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다. 노드의 개수가 N개라고 할 때, N번만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍으로 볼 수 있다. 

 

* 파이썬으로 구현한 플로이드-워셜 알고리즘

소스코드는 다음과 같다. 시간 복잡도는 O(N^3)이다.

# 플로이드 워셜 알고리즘

INF = int(1e9)

n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1) :
    for b in range(1, n + 1) :
        if a == b :
            graph[a][b] = 0
            
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m) :
    # a에서 b로 가는 비용은 c
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c
    
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 진행
for k in range(1, n + 1) :
    for a in range(1, n + 1) :
        for b in range(1, n + 1) :
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
            
# 결과 출력
for a in range(1, n + 1) :
    for b in range(1, n + 1) :
        if graph[a][b] == INF :
            print("INF", end = ' ')
            
        else :
            print(graph[a][b], end = ' ')
            
    print()